Коли ми вимірюємо сторону квадратного стола або довжину діагоналі прямокутного поля, часто стикаємось з числами, які важко уявити. Саме тут на допомогу приходить арифметичний квадратний корінь – математичний інструмент, який перетворює складне на просте.
Що таке арифметичний квадратний корінь?
Арифметичний квадратний корінь числа – це додатне число, яке при множенні на себе дає початкове число. Позначаємо його символом √x, де x – число, з якого добуваємо корінь.
Наприклад, √9 = 3, бо 3 × 3 = 9. А √25 = 5, бо 5 × 5 = 25.
Важливо розрізняти арифметичний квадратний корінь від загального поняття квадратного кореня. Загальний квадратний корінь з додатного числа має два значення – додатне і від’ємне. Наприклад, загальний квадратний корінь з 16 – це і +4, і -4, бо обидва числа при піднесенні до квадрату дають 16. Але арифметичний квадратний корінь завжди додатний, тому √16 = 4.
Число під знаком кореня називаємо підкореневим виразом. Для арифметичного кореня підкореневий вираз не може бути від’ємним.
Основні властивості арифметичного квадратного кореня
Математика стає зрозумілішою, коли ми знаємо її правила. Ось головні властивості квадратного кореня, які допомагають у розрахунках:
√(a²) = |a| – квадратний корінь з квадрата числа дорівнює модулю цього числа. Приклад: √(7²) = |7| = 7, а √((-5)²) = |−5| = 5.- √(ab) = √a × √b – корінь з добутку дорівнює добутку коренів. Приклад: √(4 × 9) = √4 × √9 = 2 × 3 = 6.
- √(a/b) = √a / √b – корінь з частки дорівнює частці коренів. Приклад: √(25/4) = √25 / √4 = 5/2 = 2,5.
√(a²) = |a| – квадратний корінь з квадрата числа дорівнює модулю цього числа. Приклад: √(7²) = |7| = 7, а √((-5)²) = |−5| = 5.Пам’ятайте, арифметичний квадратний корінь визначено лише для невід’ємних чисел. Коли ми пишемо √(-9), ми виходимо за межі дійсних чисел і потрапляємо до комплексних чисел.
Графік функції y = √x
Графік функції y = √x починається в точці (0,0) і плавно підіймається вгору. Він схожий на половину параболи, яка розтягнута вздовж осі x.
Область визначення функції – всі невід’ємні числа (x ≥ 0), а область значень – всі невід’ємні числа (y ≥ 0).
Якщо подивитись на графік, можна помітити, що при зростанні x функція зростає повільніше. При x = 0 графік має вертикальну дотичну. Це показує, що малі зміни x біля нуля призводять до великих змін y.
Методи обчислення квадратного кореня
Як знайти квадратний корінь без калькулятора? Є кілька способів:
- Метод Герона – старовинний ітераційний спосіб. Щоб знайти √a, робимо такі кроки:
- Обираємо початкове наближення x₀
- Знаходимо наступне наближення за формулою: xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ)/2
- Повторюємо, поки не отримаємо потрібну точність
Приклад: Знайдемо √10 методом Герона. Початкове наближення x₀ = 3 x₁ = (3 + 10/3)/2 = (3 + 3,33)/2 = 3,17 x₂ = (3,17 + 10/3,17)/2 = (3,17 + 3,15)/2 = 3,16 Отже, √10 ≈ 3,16
- Використання таблиць квадратів – знаходимо найближчі квадрати і оцінюємо корінь. Приклад: √67 знаходиться між √64 = 8 і √81 = 9, ближче до 8, тому √67 ≈ 8,2
Застосування арифметичного квадратного кореня
Застосування арифметичного квадратного кореняКвадратні корені застосовуються всюди:
- У фізиці: формула швидкості вільного падіння v = √(2gh) містить квадратний корінь.
- У геометрії: довжина гіпотенузи прямокутного трикутника за теоремою Піфагора c = √(a² + b²).
- У статистиці: стандартне відхилення σ = √(Σ(xᵢ – μ)²/n) використовує квадратний корінь.
Ці формули ми використовуємо для розв’язання практичних задач. Наприклад, щоб дізнатись відстань між містами на карті або розрахувати енергію руху тіла.
Поширені помилки та як їх уникнути
Вивчаючи квадратні корені, люди часто припускаються таких помилок:
- Помилкове застосування властивостей: √(a + b) ≠ √a + √b. Наприклад, √(9 + 16) = √25 = 5, але √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
- Неправильне використання знака кореня: вираз √(-5) не має сенсу в межах дійсних чисел.
- Помилки в розрахунках: завжди перевіряйте свої відповіді піднесенням до квадрату.
Арифметичний квадратний корінь – це математичний інструмент, який ми використовуємо майже щодня, часто навіть не помічаючи цього. Від вимірювання ділянки землі до розрахунку стандартних відхилень у статистиці – скрізь є квадратні корені.
Опанувавши їхні властивості та методи обчислення, ви зробите перший важливий крок до розуміння вищої математики. Спробуйте виконати кілька вправ з обчислення коренів, і ви відчуєте, як це просто і практично.
